Création de l'ordre dans l'humanité/100

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Création de l'ordre dans l'humanité/100/99 Création de l'ordre dans l'humanité/100/101

[original French]

mathématiques pures sont-elles possibles? et que faut-il entendre par là?

Kant ayant posé comme principe évident de soi, que les jugements mathématiques sont à priori, en conclut naturellement la possibilité d'une science mathématique pure, c'est-à'dire absolument vraie, indépendamment de l'expérience. Mais d'abord la loi sérielle, dont nous savons maintenant que les mathématiques sont une application particulière, n'est point une notion à priori : en effet, tant que le moi ne sort pas de lui-même par la sensation, il ne connaît que lui, c'est-à-dire l'un, l'identique, l'indifférent; il n'a aucune notion de groupe ni de série, il n'a point d'idées. Donc, à tout le moins, l'expérience est la condition d'aperception des mathématiques.

Qu'est-ce donc que l'on doit entendre par mathématiques pures? La chose est simple à concevoir : la série mathématique élémentaire étant donnée, on a par là même la loi de sa formation et de son développement, avec ses rapports et ses propriétés. Le calcul sériel n'est plus alors qu'un déroulement, une transformation de termes, une équation perpétuelle; et les jugements qui en résultent sont tous, je continue à parler la langue de Kant, non plus seulement des jugements synthétiques, des séries; mais des jugements analytiques, c'est-à-dire des sections sérielles, des séries impliquées les unes dans les autres, des séries de séries. La loi de progression sérielle étant donnée, l'esprit marche seul et n'a plus besoin de l'expérience.

180. D'après cet exposé, on conçoit qu'il puisse y avoir aussi une physique pure, une astronomie pure, une zoologie pure, une botanique pure, etc. Il suffirait pour cela que nous connussions les séries élémentaires et les lois qui déterminent les phénomènes physiques, les combinaisons des atomes, l'organisation des ani- niaux et des plantes. Alors nous construirions les séries supérieures avec une certitude absolue; et, sans attendre l'expérience, nous déterminerions à priori le réel et le possible, nous diric«is quelles organisations peuvent exister, quelles ne le peuvent pas. Tout ce qui dislingue les sciences naturelles des sciences mathématiques, c'est que les premières ne nous montrent que des séries résultant d'autres séries dont les lois et les éléments sont inconnus, tandis que les autres nous offrent à la fois, et des séries composées, et des séries élémentaires portant avec elles le principe de leur formation et la loi de leur progrès.

181. Une autre conséquence de l'hypothèse de Kant est que la certitude mathématique -est tout humaine, mais qu'on ne saurait démontrer qu'elle soit absolue. L'illustre mathématicien M. Am-

[English translation]

pure mathematics possible? And what must one understand by this?

Kant having posed as a self-evident principle that mathematical judgements are by their nature a priori concludes from this the possibility of a pure mathematical science, i.e., absolutely true, independent of experience. But beginning from the serial law, we now know that mathematics is a particular application, not an a priori concept: indeed, insofar as the self does not get outside of itself through sensation, it knows only itself, i.e. the one, the identical, the undifferentiated; it does not have any concept of group nor of series, it has no ideas. Therefore, at the very least, experience is the condition for the apperception of mathematics.

What is it, then, that one must understand by the expression "pure mathematics"? The thing is simple to conceive: An elementary mathematical series being given, one consequently has the law of its formation and its development, along with its relations and its properties. Serial calculation is no longer anything but an unfolding, a transformation of terms, a perpetual equation; and the judgements which all result from it are, I continue to speak the language of Kant, either only of the synthetic judgements, the series, but of the analytical judgements, i.e. serial sections, implied series the ones in the others, of the series of series. it law of serial progression being given, the mind goes alone and no longer requires experience.

180. According to this discourse, one can also imagine a pure physics, a pure astronomy, a pure zoology, a pure botany, etc. For these, it would be enough for us to know the elementary series and the laws that determine physical phenomena, the combinations of atoms, the organization of the animals and plants. Then we could build the higher series with absolute certainty, and, without awaiting the experience, we could determine the real and the possible a priori, we could tell which organisms can exist and which cannot. All that distinguishes the natural science from mathematical sciences, it is that the first show us only the series resulting from other series whose laws and elements are unknown, while the others, offer to us, at the same time, and of the composed series, and the elementary series carrying with them the principle of their formation and the law of their progress.

181. Another consequence of Kant's assumption is that mathematical certainty is entirely human, but that one could not demonstrate that it is absolute. The famous mathematician M. Ampère