Création de l'ordre dans l'humanité/98

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[original French]

Donc, sans nous inquiéter davantage d'attractions, passions, sympathies, essors, attachons-nous à la loi sérielle , et nous saurons de ces clioses tout ce qu'il nous convient, tout ce qu'il nous est possible d'en savoir.

176. Puisque les mathématiques sont une application particulière de la loi sérielle, essayons, avec leur secours, de reconnaître quelques-unes de ses propriétés.

L'arithmétique n'est possible que par la série : celte proposition n'a plus besoin d'être démontrée. Chacun sait que les opérations arithmétiques, addition, soustraction, multiplication, division, extraction, les rapports de progression, le balancement des extrêmes et des moyens dans les proportions reposent sur le classement des nombres en unités multiples et sous-multiples les unes des autres.

D'après ce principe, nous pouvons répondre à cette question, dont l'énoncé peut paraître absurde à beaucoup de gens : Pourquoi deux et deux font quatre?

La démonstration de ce théorème repose sur ce principe sériel, que ce qui fait le genre, ce qui délermine le groupe, est vrai de toutes les espèces qui le composent.

Soit l'unité, l'identité absolue, l'indivision, représentée par un point. Si l'on conçoit que ce point, se dédoublant, s'extériorant ou s'objectivant, pour me servir du langage philosophique, se pose en face de lui-même, il en résultera une collection ou série binaire — : — . Concevons ensuite cette série binaire s'engendrant à son tour comme l'unité, nous aurons — : — plus — : — . Or, cette réduplication peut donner lieu à plusieurs figures :::......::, etc., lesquelles ne sont toujours que la série binaire redoublée, et présentée sous des aspects différents. Mais ces aspects ou figures, considérés seulement sous le rapport du nombre, sont autant d'espèces d'un genre ou groupe arithmétique, auquel on a donné le nom de quatre. Quel que soit donc l'objet que l'on considère, les jambes d'un quadrupède, les cordes d'un violon, les yeux d'un limaçon, les angles formés par le croisement de deux droites, le nombre étant la seule chose que l'on: ait en vue, le groupe qui résulte de la série binaire opposée à elle-même reste arithmétiquement identique : c'est toujours quatre.

Il suit de là que tout nombre au-dessus de l'unité n'est pas seulement un rapport, comme l'a dit Newton : c'est encore un groupe, une série, un genre, abstrait d'une multitude d'espèces. Sans abstraction, point de nombre : donc il y a quelque chose de logique antérieur à l'arithmétique, donc les mathématiques ne sont pas le dernier mot de la raison.

[English translation]

Therefore, without concerning ourselves further with attractions, sympathies, rises, let us attach ourselves to the serial law, and we will know all the things that belong to us to know, all that which it is possible for us to know.

176. Since mathematics is a particular application of the serial law, let us try, with their help, to recognize some, of its properties.

Arithmetic is made possible only by the series: this proposal does not need more to be shown. Each one knows that the arithmetic operations, addition, subtraction, multiplication, division, extraction, the relations of progression, balancing of the extremes and the means in the proportions rest on the classification of the numbers in multiple units and submultiples from/to each other.

According to this principle, we can answer this question, the statement of which can appear absurd to many people: Why do two and two make four?

The demonstration of this theorem rests on this serial principle, that what makes the kind, what determines the group, is true of all the species which compose it.

Let the unit, absolute identity, indivisibility, be represented by a point. If we imagine that this point, being duplicated, externalized or objectified, to use the language of philosophy, is placed opposite itself, there will result from it a collection or binary series — : — . Then this binary series being generated in its turn as the unit, we will have — : — plus — : —. However, this reduplication can give place to several figures :: - :......::, etc., which are always only the redoubled binary series, and presented under different aspects. But these aspects or figures, considered only under the aspect of number, are as many species of a kind or groups arithmetic, to which one gave the name of four. Whatever the thus object which one considers, the legs of a quadruped, the cords of a violin, the eyes of a snail, angles formed by the crossing of two lines, the number being the only thing that one: keeps in mind, the group which results from the opposite binary series to itself remains arithmetically identical: it is always four.

It follows from there that any number above the unit is not only a relation, as Newton said: it is still a group, a series, a kind, abstracted from the multitude of species. Without abstraction, there is no number: thus there is something of logic prior to arithmetics; therefore, mathematics is not the last word of reason.